Wikipedysta:Loxley/Dystrybuanta

Dystrybuanta - w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja opisująca prawdopodobieństwa wystąpienia pewnego zdarzenia losowego. Każda dystrybuanta jest wyznaczona przez pewien rozkład na prostej (czyli miarę określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej) i odwrotnie każda dystrybuanta wyznacza pewien rozkład. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa z jakim zmienne losowe przyjmują dane wartości. Rozważa się również dystrybuanty rozkładów wielowymiarowych.

Definicja

Niech $P$ będzie rozkładem na prostej. Funkcję $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ daną wzorem

$F(x)=P((-\infty ,x])$

nazywamy dystrybuantą (rozkładu $P$).

Własności

Funkcja $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest dystrybuantą wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona

1. prawostronnie ciągła,
2. niemalejąca,
3. $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$, $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$.

Uwaga 1: Ponieważ powyższe twierdzenie podaje warunek konieczny i wystarczający na to by funkcja była dystrybuantą, więc czasami to właśnie je przyjmuje się jako definicję. Podejście takie może być korzystniejsze, gdyż nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu, pochodzącego z teorii miary. Ponieważ przyjęliśmy definicję używaną częściej w praktyce, więc zdanie "funkcja $F$ jest dystrybuantą wtedy i tylko wtedy" zawiera ciche założenie, że istnieje rozkład, którego ta funkcja jest dystrybuantą.

Uwaga 2: W starszej rosyjskiej literaturze dystrybuantę definiuje się jako funkcję lewostronnie ciągłą spełniającą warunki 2. i 3. Czytelnik powinien zawsze upewnić się jaką definicję przyjmuje autor książki. Różnica ta jest istotna przy rozważaniu rozkładów dyskretnych, ponieważ w ich przypadku zbiory jednoelementowe nie muszą być miary zero.

Uwaga 3: Dystrubanta $F$ wyznacza pewien rozkład $P$ jednoznacznie i na odwrót, więc gdy zachodzi potrzeba całkowania pewnej funkcji borelowskiej $g$ względem rozkładu $P$, to możemy mówić, że całkujemy ją względem dystrybuanty $F$, co zapisujemy:

$\int gdP=\int gdF$.

Przykłady

Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych o różnych parametrach.

• Dystrybuanta rozkładu jednostajnego ${\mathcal {U}}(a,b)$.

$F(x)={\begin{cases}0&{\textrm {dla\ }}x\leq a\\{{x-a} \over {b-a}}&{\textrm {dla\ }}a<x\leq b\\1&{\textrm {dla\ }}x>b\end{cases}}$

• Dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach $\mu$ i $\sigma ^{2}$.

$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(u-\mu )^{2} \over (2\sigma ^{2})}\,du$.

• Dystrybuanta rozkładu wykładniczego o parametrze $\lambda$

$F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},&\;x\geq 0,\\0,&\;x<0.\end{array}}\right.$

Gęstość i funkcja charakterystyczna dystrybuanty

Gęstość

Mierzalną w sensie Lebesgue'a funkcję $f\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )$ nazywamy gęstością dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla $x\in \mathbb {R}$:

$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)dt$.

Własności

• Jeżeli $f$ jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z $f$ po całej prostej wynosi $1$.
• Jeżeli $f_{1}$ i $f_{2}$ są gęstościami pewnej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie.
• Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą.
• Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna.
• Jeśli dystrybuanta $F$ ma gęstość, to dla $x\in \mathbb {R}$:

$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}F^{\prime }(t)dt$.

Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: Jeśli $F$ jest dystrybuantą rozkładu $P$, to często zachodzi konieczność całkowania względem miary $P$. Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli $f$ jest gęstością dystrybuanty $F$, to

$\int \limits _{B}g(x)dP(x)=\int \limits _{B}g(x)f(x)dx$,

dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb {R}$ i dla każdej funkcji borelowskiej $g$ przyjmującej wartości w $\mathbb {R} ,{\overline {\mathbb {R} }},\mathbb {C} ,\mathbb {R} ^{M}$ dla pewnej liczby naturalnej $M$.

Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości

Istnieją ciągłe dystrybuanty nie mające gęstości! Klasycznym przykładem jest

$F(x)=\left\{{\begin{array}{l}0,\;x<0\\C(x),\;x\in [0,1]\\1,\;x>1\end{array}}\right.$,

gdzie $C(x)$ oznacza funkcję Cantora. $C(x)$ jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $[0,1]$. Dystrybuanta $F$ nie może mieć zatem gęstości ponieważ $F^{\prime }=0$ prawie wszędzie.

Funkcja charakterystczna

Jeżeli $F$ jest dystrybuantą, to funkcję $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ określoną wzorem

$\varphi (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}dF(x)$

nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F$.

Jeżeli $\varphi$ jest funkcją charakteryczyczną pewnej dystrybuanty, to jest ona funkcją jednostajnie ciągłą oraz

1. $\varphi (0)=1$,
2. $\varphi (-t)={\overline {\varphi (t)}}$ dla $t\in \mathbb {R}$,
3. $|\varphi (t)|\leq 1$ dla $t\in \mathbb {R}$.

Jednym z praktycznych zastosowań funkcji charakterystycznej jest tzw. wzór na odwrócenie, dokładniej, jeśli $\varphi$ jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F$, a $x,y$ są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to

$F(x)-F(y)=\lim _{a\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-a}^{a}{\frac {e^{-ity}-e^{-itx}}{it}}\varphi (t)dt$.

Dowód tego faktu opiera się o twierdzenie Fubiniego.

Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe. Funkcje charakterystyczne mówią także o własnościach dystrybuanty, związanych z gładkością - dokładniej, jeśli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy $C^{1}$.

Zbieżność a ciągłość

Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Mówimy, że ciąg dystrybuant $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)$

dla każdego $x\in \mathbb {R}$, będącego punktem ciągłości dystrybuanty $F$.

Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny, to do dokładnie jednej dystrybuanty. Ważnym twierdzeniem dotyczącym słabej zbieżności jest twierdzenie Helly'ego:

Twierdzenie Helly'ego

Jeżeli ciąg dystrybuant $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ a $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest ograniczoną funkcją ciągłą, to

$\lim _{n\to \infty }\int \limits _{\mathbb {R} }g(x)dF_{n}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} }g(x)dF(x)$.

Wnioskiem z twierdzenia Helly'ego jest fakt, że jeśli $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest ciągiem dystrybuant, a $(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych oraz $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest punktowo zbieżny do dystrybuanty $F$, to ciąg $(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest punktowo zbieżny do funkcji charakterystycznej funkcji $F$.

Twierdzenie Lévy'ego-Craméra

Niech $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem dystrybuant, a $(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych. Jeżeli ciąg $(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$, to ciąg $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty i $\varphi$ jest jej funkcją charakterystyczną.

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim _{n\to \infty }\int \limits _{\mathbb {R} }g(x)dF_{n}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} }g(x)dF(x)$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej $g$.

Zbieżność jednostajna

Każdy ciąg dystrybuant zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej jest zbieżny do niej jednostajnie. Fakt ten można udowodnić w oparciu o jednostajną ciągłość dystrybuanty ciągłej.

Dystrybuanty zmiennych losowych

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną. Jeśli $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ jest zmienną losową, to wzór

$F_{\xi }(x)=P(\{x\in \mathbb {R} \colon \,\xi (x)\leq x\})$

określa dystrybuantę $F_{\xi }$, którą nazywamy dystrybuantą zmiennej $\xi$.

Każda zmienna losowa wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.

Bibliografia

1. Patrick Billingsley: Probability and Measure, 2nd Edition. Nowy Jork: John Wiley & Sons Inc, 1986. Brak numerów stron w książce
2. Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. Brak numerów stron w książce