Topologie komplementarne
Przejdź do nawigacji
Przejdź do wyszukiwania
Topologie komplementarne – dwie topologie określone na wspólnej przestrzeni, które są jednocześnie niezależne i transwersalne, tzn. ich część wspólna jest topologią koskończoną, natomiast ich suma jest podbazą topologii dyskretnej lub, innymi słowy, generuje topologię dyskretną. Badania nad topologiami komplementarnymi zapoczątkował A. K. Steiner[1][2] w 1966 roku.
Definicje
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie niepustym zbiorem. Rodzina
jest topologią w zbiorze nazywaną topologią koskończoną.
Topologie i w zbiorze nazywa się:
- niezależnymi, gdy topologia jest topologią koskończoną.
- transwersalnymi, gdy suma generuje topologię dyskretną, tzn. najmniejszą topologią zawierającą rodzinę jest topologia dyskretna.
- komplementarnymi, gdy są równocześnie niezależne i transwersalne.
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Twierdzenie Steinera (1966): nie istnieje w zbiorze przeliczalnym (nieskończonym) para niezależnych topologii typu T2.
- Jeśli jest przestrzenią Hausdorffa to istnieje topologia w zbiorze taka, że topologie są transwersalne oraz jest przestrzenią zwartą[3].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ A. K. Steiner, Complementation in the lattice of T1-topologies, Proceedings of the American Mathematical Society 17 (1966), 884-885
- ↑ E.F. Steiner, A.K. Steiner, Topologies with T1-complements, Fundamenta Mathematicae 61 (1967), ss. 23-28
- ↑ D. Shakhmatov, M. Tkachenko, R.G. Wilson, Transversal and T1-independent topologies, Houston J. Math. 30 (2004), ISSN 0362-1588, ss. 421-433