Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb . Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa , który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych .
Niech
p
{\displaystyle p}
liczbą pierwszą , zaś
a
{\displaystyle a}
liczbą całkowitą . Wówczas suma Gaussa jest zadana wzorem
g
(
a
,
p
)
=
∑
n
=
0
p
−
1
e
2
π
i
a
n
2
/
p
=
∑
n
=
0
p
−
1
e
p
(
a
n
2
)
,
{\displaystyle g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{2\pi ian^{2}/p}=\sum _{n=0}^{p-1}e_{p}(an^{2}),}
gdzie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle e_p(x) = e^{2 \pi i x / p}.}
Dla
a
{\displaystyle a}
p
{\displaystyle p}
p
−
1
{\displaystyle p-1}
g
(
a
,
p
)
=
∑
n
=
0
p
−
1
(
n
p
)
e
2
π
i
a
n
/
p
,
{\displaystyle g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)e^{2\pi ian/p},}
gdzie
(
n
p
)
{\displaystyle \left({\frac {n}{p}}\right)}
symbolem Legendre’a .
Do wyznaczenia wartości sum Gaussa wystarczy wyznaczenie
g
(
1
,
p
)
{\displaystyle g(1,p)}
g
(
a
,
p
)
=
(
a
p
)
g
(
1
,
p
)
{\displaystyle g(a,p)=\left({\frac {a}{p}}\right)g(1,p)}
Dokładna wartość
g
(
1
,
p
)
{\displaystyle g(1,p)}
g
(
1
;
p
)
=
{
p
p
≡
1
mod
4
i
p
p
≡
3
mod
4
.
{\displaystyle g(1;p)={\begin{cases}{\sqrt {p}}&p\equiv 1\mod 4\\i{\sqrt {p}}&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}.}
Dowód tego, że wartość bezwzględna
g
(
1
,
p
)
{\displaystyle g(1,p)}
p
{\displaystyle {\sqrt {p}}}
g
(
1
,
p
)
2
=
∑
m
1
=
1
p
−
1
∑
m
2
=
1
p
−
1
(
m
1
m
2
p
)
e
p
(
m
1
+
m
2
)
=
∑
m
1
=
1
p
−
1
∑
n
=
1
p
−
1
(
n
p
)
e
p
(
m
1
+
m
1
n
)
=
p
(
−
1
p
)
+
∑
n
=
1
p
−
1
(
n
p
)
(
−
1
)
=
p
(
−
1
p
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}g(1,p)^{2}&=\sum _{m_{1}=1}^{p-1}\sum _{m_{2}=1}^{p-1}\left({\frac {m_{1}m_{2}}{p}}\right)e_{p}(m_{1}+m_{2})\\&=\sum _{m_{1}=1}^{p-1}\sum _{n=1}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)e_{p}(m_{1}+m_{1}n)\\&=p\left({\frac {-1}{p}}\right)+\sum _{n=1}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)(-1)\\&=p\left({\frac {-1}{p}}\right),\end{aligned}}}
gdyż
∑
m
=
1
p
−
1
e
p
(
m
(
n
+
1
)
)
=
{
p
−
1
n
≡
−
1
mod
p
−
1
w przeciwnym przypadku
.
.
{\displaystyle \sum _{m=1}^{p-1}e_{p}(m(n+1))={\begin{cases}p-1&n\equiv -1\mod p\\-1&{\text{w przeciwnym przypadku}}.\end{cases}}.}
Ogólnie dla dowolnej sumy
S
(
N
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
e
2
π
i
n
2
/
N
,
{\displaystyle S(N)=\sum _{n=0}^{N-1}e^{2\pi in^{2}/N},}
N
{\displaystyle N}
S
(
N
)
=
{
(
1
+
i
)
N
N
≡
0
mod
4
N
N
≡
1
mod
4
0
N
≡
2
mod
4
i
N
N
≡
3
mod
4
.
{\displaystyle S(N)={\begin{cases}(1+i){\sqrt {N}}&N\equiv 0\mod 4\\{\sqrt {N}}&N\equiv 1\mod 4\\0&N\equiv 2\mod 4\\i{\sqrt {N}}&N\equiv 3\mod 4\end{cases}}.}
Harold Davenport, Multiplicative Number Theory , Springer, 2000. 
