Parciális integrálás

A matematikai analízisben a parciális integrálás egy olyan módszer, amely függvények szorzatának integrálját írja át a szorzatban szereplő függvények deriváltjának, illetve primitív függvényének használatával. A módszer gyakran leegyszerűsíti az integrandust abban az értelemben, hogy az integrálszámítást egyszerűbben végre lehet hajtani parciális integrálást követően.

Ha adott két függvény $f=f(x)$, illetve $g=g(x)$ alakban, a parciális integrálás szabálya szerint az integrál a következőképp írható át:

$\int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx$.

Elméleti levezetése

Legyen $f(x)$ és $g(x)$ két folytonosan differenciálható függvény. A szorzat deriváltjára vonatkozó szabály a következő:

${d \over dx}(f(x)g(x))={d \over dx}f(x)g(x)+f(x){d \over dx}g(x)$.

Mindkét oldalt $x$ szerint integrálva kapjuk, hogy

$\int {d \over dx}(f(x)g(x))=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx$.

A határozatlan integrál definíciója alapján az egyenlet a következőképp egyszerűsödik le:

$f(x)g(x)=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx$,

ebből pedig következik, hogy:

$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$.

Egy határozott integrál esetében az analízis alaptételét használva pedig a következő kifejezésre jutunk:

$\int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)b(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx.$

Alkalmazásai

A parciális integrálás heurisztikus, és nem mechanikus módszer integrálok kiszámítására. Csak bizonyos esetekben érdemes alkalmazni, amikor megkönnyíti a számítást. Továbbá nem mindig látszik első ránézésre, hogy melyik két függvényt érdemes $f(x)$-nek, illetve $g(x)$-nek választani.

Polinom- és trigonometrikus függvények szorzata

Számítsuk ki $L$-et, ahol

$L=\int _{a}^{b}\ x\sin xdx$.

Legyen

$f=x\Rightarrow df=dx,\qquad dg=\sin xdx\Rightarrow g=\int \sin xdx=-\cos x$.

Ezután alkalmazva a parciális integrálás szabályát:

$\int x\sin xdx=-x\cos x-\int (-\cos xdx)=-x\cos x+\sin x+C$,

ahol $C$ az integrálási állandó.

Konstanssal szorzott függvények

Számítsuk ki $L$-et, ahol

$L=\int \arctan xdx$.

Ebben a formában még nem egyértelmű, hogyan hasznosítható a parciális integrálás. A következőképp átírva:

$L=\int \arctan x\cdot 1dx$,

már egy szorzat van az integrál alatt, és a következőképp választhatjuk $f(x)$-et és $g(x)$-et:

$f=\arctan x\Rightarrow df={1 \over 1+x^{2}}dx,\qquad dg=dx\Rightarrow g=x$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

$\int \arctan xdx=x\cdot \arctan x-\int {x \over 1+x^{2}}dx=x\cdot \arctan x-{\ln(1+x^{2}) \over 2}+C$,

ahol $C$ az integrálási állandó.

Egy egyszerűbb példa a természetes logaritmusfüggvény:

$L=\int \ln xdx=\int \ln x\cdot 1dx$.

Legyen

$f=\ln x\Rightarrow df={dx \over x},\qquad dg=dx\Rightarrow g=x$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

${\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}$,

ahol $C$ az integrálási állandó.

Trigonometrikus függvények szorzata

Számítsuk ki $L$-et, ahol

$L=\int \sin ^{2}xdx=\int \sin x\cdot \sin xdx$.

Legyen

$f=\sin x\Rightarrow df=\cos xdx,\qquad dg=\sin xdx\Rightarrow g=\int \sin xdx=-\cos x$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát, a $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ azonossággal:

${\begin{aligned}\int \sin ^{2}xdx&=-\sin x\cdot \cos x-\int -\cos x\cdot \cos xdx\\&=-\sin x\ \cdot \cos x+\int \cos ^{2}xdx\\&=-\sin x\cdot \cos x+\int 1-\sin ^{2}xdx\\&=-\sin x\cdot \cos x+x-L\Rightarrow 2L=-\sin x\cdot \cos x+x.\end{aligned}}$

Tehát

$L={-\sin x\cdot \cos x+x \over 2}+C$.

ahol $C$ az integrálási állandó.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Integration by parts című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Evans, Lawrence C. Partial Differential Equations.. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society (1998). ISBN 0-8218-0772-2. 
• Rogers, Robert C. The calculus of several variables (September 29 2011) 
• Horobetz, David. Tabular Integration by Parts. The College Mathematics Journal 
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integration_by_parts
• Methods of Applied Mathematics (PDF) (2005) 
• Finta, Zoltán. Matematikai analízis. Csíkszereda, Romania: Státus kiadó (2017). ISBN 978-606-661-059-9