Mertensfunctie

In getaltheorie is de mertensfunctie de rekenkundige functie

$M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)$

waarin $\mu (k)$ de möbiusfunctie is.

Omdat de möbiusfunctie alleen de waarden –1, 0 en +1 aanneemt, is het overduidelijk dat de mertensfunctie langzaam beweegt en dat er geen $x$ is zodat $M(x)>x$. Het vermoeden van Mertens gaat nog verder, bewerende dat er geen $x$ is waarbij de absolute waarde van de mertensfunctie groter is dan de wortel van $x$. De onjuistheid van het vermoeden van Mertens was bewezen in 1985. De riemannhypothese is echter equivalent aan een zwakker vermoeden van de groei van $M(x)$, namelijk

$M(x)=o(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })$

Omdat grote waarden van $M$ ten minste net zo hard groeien als de wortel van $x$, is dit een strikte grens op de groeivoet.

Externe links

• Waarden van de mertensfunctie voor de eerste 2500 $n$ worden gegeven door PrimeFan's Mertens Waarden Pagina