Majoranta i minoranta

Majoranta i minoranta – pojęcia matematyczne określające wyróżnione elementy zbioru uporządkowanego oznaczające odpowiednio: ograniczenie górne i ograniczenie dolne.

Zbiory liczbowe

Definicje

Niech $(X,\curlyeqprec )$ to zbiór uporządkowany, $A\subseteq X.$

Majorantą (ograniczeniem górnym) zbioru $A$ nazywamy taki element $M\in X$ $\forall x\in A:x\curlyeqprec M.$

Minorantą (ograniczeniem dolnym) zbioru $A$ nazywamy taki element $m\in X$ $\forall x\in A:m\curlyeqprec x.$

Własności i przykłady

• Jeśli zbiór $A$ posiada co najmniej jedną majorantę (odpowiednio minorantę) to mówimy, że jest on ograniczony od góry (odpowiednio od dołu).
• Jeśli ma majorantę i minorantę to jest ograniczony.
• Niech $(\mathbb {R} ,\leqslant );\quad A=\langle -1,5),$ wtedy np. 6 jest majorantą zbioru $A,$ np -100, -1 są minorantami zbioru $A,$ zbiór wszystkich minorant to ${\big (}-\infty ,-1\rangle .$

Szeregi

Jeżeli dla danych dwóch szeregów liczbowych $\exists n_{0}\in \mathbb {N} \quad \forall n>n_{0}:a_{n}\leqslant b_{n}$ to szereg $b_{n}$ nazywamy majorantą szeregu $a_{n}$ (szereg $a_{n}$ nazywamy minorantą szeregu $b_{n}$).

Zobacz też

• kresy dolny i górny
• szereg (matematyka)
• zbiór uporządkowany

Bibliografia

• Zbigniew Furdzik et al., Nowoczesna matematyka dla inżynierów, Cz. 1, Algebra.