Całka Jacksona

Całka Jacksona – szereg wyrażający operację odwrotną do $q$ -różniczkowania.

Definicja

Niech $f(x)$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej $x.$ Całkę Jacksona funkcji $f$ definiuje się jako następujące rozwinięcie szeregu:

\int f(x)\operatorname {d} _{q}x=(1-q)x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).

Ogólniej, jeżeli $g(x)$ jest inną funkcją, a $\operatorname {D} _{q}g$ oznacza jej $q$ -pochodną, to można formalnie zapisać

\int f(x)\operatorname {D} _{q}g\operatorname {d} _{q}x=(1-q)x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\operatorname {D} _{q}g(q^{k}x)=(1-q)x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\frac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}}

lub

\int f(x)\operatorname {d} _{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)(g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),

co daje $q$ -analog całki Riemanna-Stieltjesa.

Całka Jacksona jako q-pierwotna

Tak jak zwykła pierwotna funkcji ciągłej może być wyrażona za pomocą jej całki Riemanna, tak możliwe jest wykazanie, że całka Jacksona jednoznacznie wyznacza $q$ -pierwotną w pewnej klasie funkcji.

Twierdzenie

Niech $0<q<1.$ Jeżeli wyrażenie $|f(x)x^{\alpha }|$ jest ograniczone na przedziale $[0,A)$ dla pewnego $0\leqslant \alpha <1,$ to całka Jacksona funkcji $f(x)$ zbiega do funkcji $F(x)$ na $[0,A)$ będącej $q$ -pierwotną $f(x).$ Co więcej, $F(x)$ jest ciągła w punkcie $x=0,$ gdzie $F(0)=0$ i jest jednoznacznie wyznaczoną pierwotną $f(x)$ w tej klasie funkcji^[1].