∇
{\displaystyle \nabla }
델 연산자 는 벡터 미적분학 에서 많이 쓰이는 연산자로써 나블라 기호 로 표현하며 함수 의 발산 이나 회전 등을 나타내는데 사용된다. 어떤 함수
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f\left(x\right)}
를 미분 할 때 미분 을 하나의 과정으로 볼 수 있지만 하나의 연산, 즉
y
{\displaystyle y}
를
d
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}}
라는 연산자 를 사용하여 연산하는 방법으로 바라볼 수도 있다. 델 연산자는 미분 연산자와 마찬가지로 그래디언트 를 하나의 연산자 로 바라본 것이다.
3차원 공간
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
에서 델 연산자 는
∇
=
i
∂
∂
x
+
j
∂
∂
y
+
k
∂
∂
z
{\displaystyle \nabla =\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}
로 정의된다. 비슷한 방식으로 n차원 공간에서의 델 연산자 는 다음과 같이 정의된다.
∇
=
∑
i
=
1
n
e
i
∂
∂
x
i
{\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}
여기서
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}
는 i번째 좌표만 1이고 나머지는 0으로 채워진 n차원의 표준기저 를 의미한다.
델 연산자 를 어떤 함수
f
:
A
⊂
R
3
→
R
{\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }
에 적용시키자. 다시 말해서
f
{\displaystyle f}
를 어떤 스칼라 함수라 하고,
A
→
=
(
A
x
,
A
y
,
A
z
)
{\displaystyle {\overrightarrow {A}}=(A_{x},A_{y},A_{z})}
를 3차원 공간상의 어떤 벡터라 하자. 각각은 x,y,z 에 대한 함수다. 이 때, 4가지 연산의 정의는 이렇게 쓸 수가 있다.
∇
f
=
(
i
∂
∂
x
+
j
∂
∂
y
+
k
∂
∂
z
)
f
=
i
∂
f
∂
x
+
j
∂
f
∂
y
+
k
∂
f
∂
z
{\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial f}{\partial z}}}
이는 그래디언트 의 정의와 같다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자를 이용하여 정의된다.
어떤 벡터장
F
:
A
⊂
R
3
→
R
3
{\displaystyle \mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}
의 발산 또는 다이버전스 는 델 연산자 와의 스칼라곱 으로 정의된다.
div
F
=
∇
⋅
F
=
(
i
∂
∂
x
+
j
∂
∂
y
+
k
∂
∂
z
)
⋅
(
F
1
i
+
F
2
j
+
F
3
k
)
=
∂
F
1
∂
x
+
∂
F
2
∂
y
+
∂
F
3
∂
z
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \left(F_{1}\mathbf {i} +F_{2}\mathbf {j} +F_{3}\mathbf {k} \right)={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}}
여기서
F
1
,
F
2
,
F
3
{\displaystyle F_{1},~F_{2},~F_{3}}
는 벡터장
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
의 성분 스칼라장 들이다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자와 n차원 벡터장 의 스칼라곱 으로 정의된다.
어떤 벡터장
F
:
A
⊂
R
3
→
R
3
{\displaystyle \mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}
의 회전 또는 돌개 는 델 연산자 와의 벡터곱 으로 정의된다.
curl
F
=
∇
×
F
=
|
i
j
k
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
F
1
F
2
F
3
|
=
(
∂
F
3
∂
y
−
∂
F
2
∂
z
)
i
+
(
∂
F
1
∂
z
−
∂
F
3
∂
x
)
j
+
(
∂
F
2
∂
x
−
∂
F
1
∂
y
)
k
{\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }
여기서
F
1
,
F
2
,
F
3
{\displaystyle F_{1},~F_{2},~F_{3}}
는 벡터장
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
의 성분 스칼라장 들이며 회전연산자의 결과
curl
F
{\displaystyle \operatorname {curl} F}
또는
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times F}
는 같은 차원의 벡터장 이다. 3차원이 아닌 공간에서는 정의되지 않지만 2차원 평면에서는
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
성분이 없는 3차원 벡터 로 놓고 계산하는 경우도 있다.
라플라시안 또는 라플라스 연산자
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
은 그래디언트 의 발산 으로 정의된다.
∇
2
f
=
∇
⋅
(
∇
f
)
=
(
i
∂
∂
x
+
j
∂
∂
y
+
k
∂
∂
z
)
⋅
(
i
∂
f
∂
x
+
j
∂
f
∂
y
+
k
∂
f
∂
z
)
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \cdot \left(\nabla f\right)=\left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \left(\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial f}{\partial z}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 그래디언트 의 n차원 발산 으로 정의된다.
c
{\displaystyle c}
는 상수이고 함수
f
,
g
,
F
,
G
{\displaystyle f,~g,~\mathbf {F} ,~\mathbf {G} }
는 다음과 같이 정의된다.
f
:
A
⊂
R
3
→
R
,
g
:
B
⊂
R
3
→
R
,
F
:
C
⊂
R
3
→
R
3
,
G
:
D
⊂
R
3
→
R
3
{\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,~g:B\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,~\mathbf {F} :C\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3},~\mathbf {G} :D\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}
∇
(
f
+
g
)
=
∇
f
+
∇
g
{\displaystyle \nabla \left(f+g\right)=\nabla f+\nabla g}
∇
(
c
f
)
=
c
∇
f
{\displaystyle \nabla \left(cf\right)=c\nabla f}
∇
(
f
g
)
=
f
∇
g
+
g
∇
f
{\displaystyle \nabla \left(fg\right)=f\nabla g+g\nabla f}
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g\left(\mathbf {x} \right)\neq 0}
인
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
에 대해서
∇
(
f
g
)
=
g
∇
f
−
f
∇
g
g
2
{\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g^{2}}}}
∇
⋅
(
F
+
G
)
=
∇
⋅
F
+
∇
⋅
G
{\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {F} +\mathbf {G} \right)=\nabla \cdot \mathbf {F} +\nabla \cdot \mathbf {G} }
∇
⋅
(
c
F
)
=
c
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \left(c\mathbf {F} \right)=c\nabla \cdot \mathbf {F} }
∇
⋅
(
f
F
)
=
f
∇
⋅
F
+
F
⋅
∇
f
{\displaystyle \nabla \cdot \left(f\mathbf {F} \right)=f\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla f}
∇
⋅
(
∇
f
×
∇
g
)
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla f\times \nabla g\right)=0}
∇
×
(
F
+
G
)
=
∇
×
F
+
∇
×
G
{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {F} +\mathbf {G} \right)=\nabla \times \mathbf {F} +\nabla \times \mathbf {G} }
∇
×
(
c
F
)
=
c
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \left(c\mathbf {F} \right)=c\nabla \times \mathbf {F} }
∇
×
(
f
F
)
=
f
∇
×
F
+
∇
f
×
F
{\displaystyle \nabla \times \left(f\mathbf {F} \right)=f\nabla \times \mathbf {F} +\nabla f\times \mathbf {F} }
∇
×
∇
f
=
0
{\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathbf {0} }
∇
⋅
∇
×
F
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {F} =0}
∇
2
(
f
g
)
=
f
∇
2
g
+
2
(
∇
f
⋅
∇
g
)
+
g
∇
2
f
{\displaystyle \nabla ^{2}\left(fg\right)=f\nabla ^{2}g+2\left(\nabla f\cdot \nabla g\right)+g\nabla ^{2}f}
∇
⋅
(
f
∇
g
−
g
∇
f
)
=
f
∇
2
g
−
g
∇
2
f
{\displaystyle \nabla \cdot \left(f\nabla g-g\nabla f\right)=f\nabla ^{2}g-g\nabla ^{2}f}
1번과 2번 성질에 의하여 그래디언트 가, 5번과 6번 성질에 의하여 발산 이, 9번과 10번 성질에 의하여 회전 이 선형변환 임을 알 수 있다.
델 연산자 는 윌리엄 로언 해밀턴 이 사원수 를 연구하면서 생각해낸 개념으로 그는
∇
=
∂
∂
x
i
+
∂
∂
y
j
+
∂
∂
z
k
{\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k} }
로 정의하였다. 만약 3차원 공간의 스칼라장
f
{\displaystyle f}
와 곱하면
f
{\displaystyle f}
의 그래디언트 를 얻을 수 있고 3차원 벡터장 과 사원수 곱을 하면 스칼라 성분은 발산 의 음수, 벡터 성분은 회전 이다.(
∇
V
=
−
∇
⋅
V
+
∇
×
V
{\displaystyle \nabla \mathbf {V} =-\nabla \cdot \mathbf {V} +\nabla \times \mathbf {V} }
, 여기서
∇
V
{\displaystyle \nabla \mathbf {V} }
는 그래디언트 가 아니라 단순히 델과 V 의 곱이다.) 그는 이러한 개념들에서 물리적 의미를 찾을 수는 없었지만 중요한 물리적 의미가 있을 것이라고 예상하고 있었다.
델 연산자와 발산 , 회전 의 물리적 의미를 처음으로 발견한 사람은 제임스 클러크 맥스웰 이다. 맥스웰 은 그의 논문 <<전기와 자기에 관한 논문>>에서는 발산 과 회전 을 각각 그 당시 많이 사용되던 단어인 컨버전스(convergence)와 로테이션(rotation)이라 이름 붙이고 전기장 과 자기장 사이의 상호작용을 설명하였다. 그는 발산 의 물리적 의미를 가우스의 발산정리 를 이용하여 설명하였으나 회전 의 경우 깊은 물리적 의미를 찾지는 못하였다.
지금의 이름인 ‘발산 (영어 : divergence )’과 ‘회전 (영어 : curl )’을 붙인 것은 조사이어 윌러드 기브스 이다. 그는 맥스웰 보다 발산 과 회전 의 훨씬 더 근본적인 물리적 의미를 찾아냈다. 그가 찾아낸 발산 의 의미는 공간에서 유체의 속도벡터와 공간 상의 어느 한 점에서 유체가 빠져나가는 속도를 잇는 연산자였고, 회전 의 의미는 어떤 강체 각 지점의 속도 벡터와 강체의 각속도를 연결짓는 연산자였다.
Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0 .