Очікує на перевірку

Квадратична форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

Означення

[ред. | ред. код]

Нехай є полем. Квадратичною формою над полем називається однорідний многочлен другого степеня, тобто:

Якщо характеристика поля не є рівною 2, то як правило у цьому виразі В іншому випадку можна ввести нові коефіцієнти Для полів характеристики 2 таку заміну не можливо провести.

Квадратичну форму від n змінний називають n-арною, зокрема бінарною для n = 2.

Квадратичні простори і білінійні форми

[ред. | ред. код]

Еквівалентно , нехай є скінченновимірним векторним простором . Тоді квадратичною формою називається відображення для якого для всіх і відображення є білінійним, тобто лінійним по аргументах і .

Простір із введеною квадратичною формою називається квадратичним простором.

Для полів характеристика яких не є рівною 2 квадратична форма породжує симетричну білінійну форму:

Ця білінійна форма називається асоційованою білінійною формою. Навпаки симетрична білінійна форма породжує квадратичну форму:

Для полів характеристики 2 можна ввести білінійну форму пов'язану із квадратичною але у цьому випадку навпаки ця форма не визначає початкову квадратичну форму оскільки

Асоційовані білінійні форми дозволяють записати квадратичну форму як однорідний многочлен другого степеня від координат вектора у деякому базисі . А саме:

де — розклад вектора через елементи базису, а

Для двох квадратичних просторів і лінійне відображення називається ізометрією якщо воно є ін'єктивним і Якщо це лінійне відображення є ізоморфізмом, то простори називаються ізометричними. Ізометричні простори є ізоморфними як квадратичні простори.

Матриця квадратичної форми

[ред. | ред. код]

Нехай є квадратичною формою.

Матрицю називають матрицею квадратичної форми . У разі, якщо характеристика поля не дорівнює 2, можна вважати, що матриця квадратичної форми симетрична, тобто .

Позначивши вектор-стовпець змінних квадратичну форму можна записати у матричному виді:

Навпаки кожна симетрична матриця таким чином задає квадратичну форму.

Якщо квадратична форма визначена як квадратичне відображення на квадратичному просторі над полем характеристика якого не є рівною 2, то елементи матриці задаються значеннями асоційованої білінійної форми для деякого базису :

Якщо  — деякий базис лінійного простору то квадратична форма буде представлена як:

Якщо деякий інший базис e де  — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

Квадратичні форми називаються еквівалентними, якщо їх матриці пов'язані рівністю для деякої невиродженої матриці .

З формули випливає, що визначник матриці квадратичної форми не є її інваріантом (тобто не зберігається при заміні базису, на відміну, наприклад, від матриці лінійного відображення), але її ранг є інваріантом. Таким чином, визначено поняття рангу квадратичної форми.

Якщо матриця квадратичної форми має повний ранг , то квадратичну форму називають невиродженою, в іншому випадку - виродженою.

Приклади

[ред. | ред. код]

Квадратична форма від однієї змінної:

Квадратична форма від двох змінних:

Квадратична форма від трьох змінних:

Канонічна форма

[ред. | ред. код]

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд: .

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа). Дана діагоналізація може бути не є диною

У випадку дійсних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі рівні 1, -1 або 0. Для комплексних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі рівні 1 або 0.

Для дійсних квадратичних форм виконується закон інерції Сильвестра: кількість нульових, додатних та від'ємних елементів в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.

Означені дійсні квадратичні форми

[ред. | ред. код]

Квадратична форма над полем дійсних чисел називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо

Одним із важливих результатів про додатноозначені і від'ємноозначені матриці є критерій Сильвестра:

  • Квадратична форма є додатноозначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
  • Квадратичная форма є від'ємноозначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

Джерела

[ред. | ред. код]