W sposób oczywisty pokazuje to, iż każda liczba Catalana jest liczbą naturalną. Inną postacią wzoru rekurencyjnego (tym razem pierwszego stopnia) jest:
,
Przybliżenie wartości -tej liczby Catalana jest możliwe dzięki wzorowi Stirlinga na wartość silni i ma postać:
Znaczenia kombinatoryczne
Liczby Catalana posiadają wiele różnych interpretacji kombinatorycznych. Podane niżej stanowią jedynie przykłady zastosowań:
Liczba dróg
Jeżeli rozważymy wszystkie łamane, zaczynające się w początku kartezjańskiego układu współrzędnych i kończące w dla każdego , położone w jego I ćwiartce i złożone z pojedynczych odcinków o początku i końcu w punkcie lub (gdzie ), to ich liczba będzie wyrażona -tą liczba Catalana.
Liczba rozmieszczeń nawiasów
Poprzez rozumiemy pewne działanie dwuargumentowe. Dla -argumentów liczba wyraża liczbę sposobów, na które można rozmieścić nawiasy w takim wyrażeniu, czyli - dla działania niełącznego - maksymalną liczbę wyników, które można uzyskać. Przykładowo, dla trzech argumentów otrzymać można lub , co odpowiada .
Jeżeli rozpatrzymy wszystkie możliwe drogi w kwadracie z dolnego lewego wierzchołka do górnego prawego, tak, by nigdy nie przekroczyć przekątnej łączącej te wierzchołki i były monotoniczne, łatwo jest zauważyć, że wyrażają się one -tą liczbą Catalana. Odpowiada to liczbie monotonicznych funkcji z w takich, by
Liczba podziałów na trójkąty
Liczba wyraża liczbę sposobów podziału wielokąta wypukłego, mającego krawędzie, na różne trójkąty przy pomocy przekątnych.
Dowód wzoru jawnego
Dowód wzoru można otrzymać na wiele sposobów i zależnie od różnych interpretacji liczb Catalana. Przyjmując, że rozpatrujemy przypadek liczby dróg z punktu do i przy założeniu otrzymamy:
– bowiem do punktu prowadzi jedna tylko droga,
– ponieważ do punktu prowadzi jedna droga , zaś z tego punktu do można przejść zgodnie z założonymi możliwościami wyboru kolejnego odcinka składowego na jeden sposób.
Rozważmy teraz pewne przesunięcie układu współrzędnych tak, by punkt stał się środkiem nowego układu współrzędnych – wówczas do punktu prowadzi tyle samo dróg, co z punktu do , zaś z wykonując ruch zgodnie z założeniami można przejść na jeden sposób do punktu .
Postępując dalej analogicznie, otrzymamy:
.
Aby otrzymać wzór jawny, którym określony jest ciąg, można użyć techniki funkcji tworzących ciągu.
Niech będzie funkcją tworzącą tego ciągu. Wówczas:
,
co wynika z definicji operacji mnożenia funkcji tworzących. Mamy więc
Rozwiązując to równanie, po przyjęciu za szukaną zmienną otrzymujemy:
Ponieważ
,
to rozpatrujemy jedynie pierwiastek .
Korzystając z uogólnionego na liczby rzeczywiste symbolu Newtona oraz jego własności okazuje się, że
.
Po zmianie granic sumowania otrzymujemy
.
Z własności funkcji tworzących wiemy, że -ty wyraz ciągu jest równy współczynnikowi przy -tej potędze , czyli;
Historia
Liczby te zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Leonarda Eulera w XVIII wieku, który badał liczbę podziałów wielokątów na trójkąty. Zostały nazwane na cześć Eugène Charlesa Catalana, który rozważał je jako liczbę sposobów rozmieszczeń nawiasów.