Teoria Nielsena

Teoria Nielsena jest działem topologicznej teorii punktów stałych. Jej podstawowe idee zostały opracowane przez duńskiego matematyka Jakoba Nielsena w latach dwudziestych XX wieku. Głównym jej zadaniem jest badanie minimalnej liczby punktów stałych odwzorowania $f:X\rightarrow X$ zwartej przestrzeni w siebie:

${\mathit {MF}}[f]=\min\{\#\mathrm {Fix} (g)\,|\,g\sim f\}.$

Symbol ~ oznacza homotopię odwzorowań, zaś $\#{\textrm {Fix}}(g)$ oznacza liczbę punktów stałych odwzorowania $g$. Liczba ${\mathit {MF}}[f]$ była bardzo trudna do obliczenia w czasach Nielsena i taką pozostała do dziś. Głównym pomysłem Nielsena jest pogrupowanie zbioru punktów stałych na klasy, które są nazwane ”istotne” lub nieistotne” w zależności od tego, czy można je ”usunąć” za pomocą homotopii.

Oryginalne sformułowanie Nielsena jest równoważne następującemu: Relację równoważności definiujemy na zbiorze punktów stałych odwzorowania f na przestrzeni X.

Mówimy że punkty x oraz y są w relacji Nielsena, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje droga $\omega$ je łącząca taka, że drogi $\omega$ i $f\omega$ są homotopijne. Klasy równoważności tej relacji nazywane są klasami Nielsena odwzorowania f, a liczba klas istotnych, tzn. klas mających niezerowy indeks punktu stałego, nazywa się liczbą Nielsena i jest oznaczana ${\textit {N}}(f)$

Nielsen udowodnił że

$N(f)\leq {\mathit {MF}}[f],$

czyniąc jego niezmiennik dobrym narzędziem do szacowania znacznie trudniejszego MF [ f ]. Prowadzi to natychmiast do:

Twierdzenie( Nielsena o punkcie stałym) Każda mapa f ma co najmniej N(f) punktów stałych.

Liczba Nielsena, ze względu na jej definicję w kategoriach indeksu stałoprzecinkowego, jest ściśle powiązana z liczbą Lefschetza . Rzeczywiście, wkrótce po początkowej pracy Nielsena, Wecken i Reidemeister połączyli te dwa niezmienniki w jedną „uogólnioną liczbę Lefschetza” (ostatnio zwaną śladem Reidemeistera ).