Просмотр кода страницы Локально конечное семейство подмножеств

В [[общая топология|общей топологии]] '''локальная конечность''' является свойством семейства подмножеств [[топологическое пространство|топологического пространства]]. Это понятие является естественным обобщением понятия [[Конечное множество|конечного]] семейства и играет ключевую роль при изучении [[паракомпактность|паракомпактности]] и [[топологическая размерность|топологической размерности]].  

Заметим, что термин [[локальная конечность (значения)|локальная конечность]] в других областях математики имеет отличные значения.

==Определение==

Семейство <math>S=\{A_i; i\in I\}</math> подмножеств топологического пространства <math>X</math> называется '''локально конечным''', если всякая точка <math>x\in X</math> обладает [[окрестность|окрестностью]] <math>U</math>,  пересекающейся с не более чем конечным числом элементов из этого семейства, то есть <math>U\cap A_i=\emptyset</math> для всех <math>i\in I</math>, кроме, быть может, конечного числа индексов. Если же любая точка <math>x\in X</math> обладает [[окрестность|окрестностью]] <math>U</math>,  пересекающейся не более чем с одним из элементов этого семейства, то семейство называется '''дискретным'''. 


Очевидно, что конечное семейство является локально конечным, тогда как локально конечное семейство может иметь любую [[мощность множества|мощность]]. 

Например, рассмотрим бесконечное семейство [[Промежуток (математика)#Типы промежутков|интервал]]ов <math>(n,n+2)</math> на [[действительная прямая|действительной прямой]] '''R''' (здесь <math>n</math> — произвольное [[целое число]]). Каждая точка <math>x\in</math> '''R''' имеет окрестность, которая пересекается не более чем с двумя интервалами семейства, то есть семейство является локально конечным. 

В общем случае, счётное семейство не обязано быть локально конечным: достаточно рассмотреть семейство интервалов <math>(-n,n)</math> на действительной прямой.

==Свойства==

* Для локально конечного семейства <math>\{A_i; i\in I\}</math> справедливо равенство: <math>\overline{\cup_{i\in I}A_i}=\cup_{i\in I}\overline{A_i}</math>

Как известно, это свойство выполняется для конечного семейства подмножеств, но в общем случае это не так. Можно только утверждать, что <math>\cup_{i\in I}\overline{A_i}\subseteq\overline{\cup_{i\in I}A_i}</math>. Как следствие первого свойства:

* Объединение локально конечного семейства [[замкнутое множество|замкнутых множеств]] замкнуто.

* Бесконечное семейство подмножеств [[компактное пространство|компактного пространства]] не может быть локально конечным.

== См. также ==

* [[Паракомпактное пространство]]
* [[Размерность Лебега]]

== Литература ==

* ''Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А.'' Общая топология. — {{М}}: Высшая школа, 1979
{{ВС}}
[[Категория:Общая топология]]